linear programming

I. PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Perkembangan teknologi yang semakin canggih membuat kehidupan ikut menjadi modern. Di mulai dari hal yang kecil hingga hal yang besar dan hal yang biasa juga hal yang tidak biasa, seperti komunikasi, gaya hidup, elektronik bahkan kebutuhan sehari-hari yang biasa kita pakai. Dahulu kala orang hidup dengan serba apa adanya, seperti pakaian terbuat dari kulit hewan dan dedaunan serta makanan umbi-umbian yang tersebar di seluruh tanah yang memungkinkan untuk tumbuh kembangnya tanaman. Jika dulu kulit hewa telah di pakai untuk pakain, namun dengan pengetahuan yang bertambah dan berkembangnya teknologi, kulit hewan bias di buat menjadi berbagai macam barang yang bias berfungsi dalam kehidupah sehari-hari seperti sabuk, jaket, topi, dompet bahkan sepatu.

Tumbuhan perusahaan yang bergerak di bidang pembuatan barang-barang pemenuh kebutuhan sehari-hari semakin lama semakin bertambah. Hal ini di buktikan dengan semakin banyak nya merek dagang yang bias kita temukan di pasar. Persaingan usaha yang semakin ketat harus di ikuti dengan siasat atau strategi pasar yang baik pula agar keuntungan yang optimum dapat di peroleh sehingga perusahaan tidak rugi. Salah satu metode yang di gunakan untuk menghitung berapa laba atau keuntungan maksimum dari penjualan barang adalah dengan stud risetboperasional. Riset opersional telah di pakai sejak masa penjajahan belanda dulu. Bahkan untuk strategi perang ilmu ini telah di terapkan.

Linier programming sebagai salah satu metode yang terdapat di studi riset operasional dapat digunakan untuk menghitung keuntugan dari penjualan barang agar mendapatkan niali atau laba maksimum dengan modal yang kecil.

B. Tujuan

Tujuan pembuatan paper ini adalah mengaplikasikan linier programming sebagai bidang riset opersional terhadap pembuatan sepatu di PT Era Maju.

II. TINJAUAN PUSTAKA

A. Linear Programming

Ada beberapa pendapat yang menyatakan bahwa pengertian linear programming merupakan suatu metode untuk mencapai satu hasil yang optimal. suatu model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal. Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan dilakukannya, dimana masing-masing kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas. Ada dua fungsi yang penting dalam linear programming ini, yaitu:

1. Fungsi tujuan adalah fungsi yang menggambarkan tujuan sasaran di dalam permasalahan LP yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumberdaya-sumberdaya, untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya minimal. Pada umumnya nilai yang akan dioptimalkan dinyatakan sebagai Z.
2. Fungsi batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan (Rosihan, 2008).

Pemrograman linier merupakan perencanaan kegiatan-kegiatan untuk mencapai suatu hasil yang ”optimal”, yaitu suatu hasil yang mencerminkan tercapainya sasaran tertentu yang lebih baik (menurut model matematis) diantara alternatif-alternatif yang mungkin, dengan menggunakan fungsi linear. Pemrograman linier juga memungkinkan pengambil keputusan untuk melakukan pengujian terhadap sensitivitas solusi optimalyang didapatkan dengan melakukan perubahan terhadap nilai parameter yang digunakan (Irghandi, 2008)

Menurut Spyros Reveliotis (1997) Program linier adalah suatu program matematika yang dari perspektif analitis berguna untuk mengidentifikasi suatu titik ekstrim (minimum atau maksimum) suatu titik pada fungsi `f (x1, x2, … , xn) yang selanjutnya memenuhi suatu set kendala misalnya g (x1, x2, … , xn) >= b . Fungsi f yang disebut dengan fungsi tujuan dan fungsi g yang disebut dengan kendala harus bersifat linier. Ditinjau dari segi aplikasi program linier merupakan alat optimisasi yang dapat digunakan secara rasional oleh manejer dalam pengambilan keputusan secara teknologikal yang dibutuhkan dalam aplikasi tekno-sosio-ekonomi.

Menurut (James, 1999)Pemrograman linier dapat diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks. Linear programming, kadang-kadang dikenal sebagai optimasi linear, adalah masalah memaksimalkan atau meminimalkan fungsi linear atas polyhedron cembung ditentukan oleh linier dan non-negativitas kendala. linear programming adalah optimalisasi hasil yang didasarkan pada beberapa set kendala menggunakan model matematis linear.

Masalah keputusan yang biasa dihadapi para analis adalah alokasi optimum sumber daya yang langka. Sumber daya dapat berupa modal, tenaga kerja, bahan mentah, kapasitas mesin, waktu, ruangan atau teknologi. Rugas analis adalah mencapai hasil terbaik yang mungkin dengan keterbatasan sumber daya ini. Hasil yang diinginkan mungkin ditunjukkan sebagai maksimasi dari beberapa ukuran seperti profit, penjualan dan kesejahteraan, atau minimasi seperti biaya, waktu dan jarak.Setelah masalah diidentifikasikan, tujuan diterapkan, langkah selanjutnya adalah formulasi model matematik yang meliputi tiga tahap :

1. Menentukan variabel yang tak diketahui (variabel keputusan) dan menyatakan dalam simbol matematik

2. Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu hubungan linier (bukan perkalian) dari variabel keputusan

3. Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikan dalam persamaan dan pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variabel keputusan yang encerminkan keterbatasan sumberdaya masalah itu (Anonim, 2007)

B. Sepatu

Kebutuhan manusia semakin lama semakin berkembang. Dengan berkembang nya teknologi maka gaya hidup pun semakin mewah. Kebutuhan menusia terbagi menjadi tiga yaitu kebutuhan primer, skunder, dan tersier. Kebutuhan primer merupakan kebutuhan pokok yang meliputi kebutuhan makan dan hal yang berisfat harus, sekunder merupakan kebutuhan pelengkap seperti barang elektronik, sedangkan kebutuhan tersier merupakan kebutuhan yang di penuhi apabila kebutuhan primer d sekunder telah terpenuhi. Salah satu barang yang perlu dimiliki adalah sepatu, sepatu berfungsi sebagai alas kaki ketika kita berjalan. Persaingan perusahaan yang bergerak di bidang pemuatan sepatu semakin banyak. Hala ni di tunjukan dengan semakin banyaknya merek dagang sepatu yang ada di pasaran mulai dari yang biasa sampai yang berkualitas tinggi. Minat masyarakat untuk mebeli sepatu semakin lama semakin berkembang. Berikut merupakan contoh soal pembuatan sepatu yang dihitung dengan menggunkan metode linear programming dalam memperoleh hasil ahir untuk memperoleh hasil yang ptimal.

· Perusahaan sepatu membuat 2 macam sepatu. Yang pertama merek I₁, dgn sol karet, dan merek I₂ dgn sol kulit. Diperlukan 3 macam mesin. Mesin 1 membuat sol karet, mesin 2 membuat sol kulit, dan mesin 3 membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatu merek I₁ mula-mula dikerjakan di mesin 1 selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin 3 selama 6 jam. Sedang untuk sepatu merek I₂ tidak diproses di mesin 1, tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari mesin 1 adalah 8 jam, mesin 2 adalah 15 jam, dan mesin 3 adalah 30 jam. Sumbangan terhadap laba setiap lusin sepatu merek I₁ = Rp 30.000,00 sedang merek I₂ = Rp 50.000,00. Berapa laba maksimum dari penjualan sepatu merek I₁ dan merek I₂.

III. HASIL DAN PEMBAHASAN

A. Hasil

Merek Mesin	I1 (X1)	I2(X2)	Kapsitas maksimum
1	2	0	8
2	0	3	15
3	6	5	30
Sumbangan Laba	3	5

· Fungsi Tujuan Z = 3X₁ + 5X₂

· Fungsi Batasan (constrain)

(1) 2X₁ + 0 X2 £ 8

(2) 0X2 + 3X₂ £ 15

(3) 6X₁ + 5X₂ £ 30

· Fungsi non-negatif

X1 > 0

X2> 0

Dari fungsi batasan:

- 2X₁ + 0 X2 £ 8

Jika X1 = 0 maka X2 = 8/0 = 8

X2 = 0 maka X1 = 8/2 = 4

- 0X2 + 3X₂ £ 15

Jika X1 = 0 maka X2 = 15/3 = 5

X2 = 0 maka X1 = 15/0 = 15

- 6X₁ + 5X₂ £ 30

Jika X1 = 0 maka X2 = 30/5 = 6

X2 = 0 maka X1 = 30/6 = 5

_X2

15

10

Daerah overlap ( OABCD )

5 D C

B

_X1

O A 5 10 15

Masukan nilai X1 dan X2 ke fungsi tujuan Z = 3X₁ + 5X₂

O = X1 = 0 dan X2 = 0 Z = 3X₁ + 5X₂

= 3. 0 + 5. 0 = 0

A = X1 = 4 dan X2 = 0 Z = 3X₁ + 5X₂

= 3. 4 + 5. 0 = 12

B = X1 = 3 dan X2 = 3 Z = 3X₁ + 5X₂

= 3. 3 + 5. 3 = 24

C = X1 = 1 dan X2 = 4,5 Z = 3X₁ + 5X₂

= 3. 1 + 5. 4,5 = 25,5

D = X1 = 0 dan X2 = 5 Z = 3X₁ + 5X₂

= 3. 0 + 5. 5 = 25

25,5 adalah nilai maksimumnya ( 25,5 x 10000) = 255.000

B. Pembahasan

Dari contoh soal di atas kita ketahui bahwa dalam membut 2 macam merek sepatu yang berkualitas agar dapat laku di pasaran maka dilakukan dengan memberikan bahan yang berbeda karena selera masing-masing orang berbed. Perusahaan tersebut membuat 2 merek sepatu yang berbahan sol kulit dan sol karet. Untuk mendapatkan hasil yang terbaik perusahaan tersebut memiliki 3 buah mesin yang fungsinya melaksanakan tugas pembuatan sepatu. Jika mesin 1 mengerjakan sol karet, mesin 2 mengerjakan sol kulit dan mesin 3 mengerjakan bagian atas maka pembuatan sepatu akan cepat terselesaiakan sesuai target.

Mesin 1 mampu mengerjakan merek I1 selama 2 jam diteruskan ke mesin 2 dan mesin 3 selama 6 jam. Sedangkan mesin untuk mengerjakan merek I2 memerlukan waktu 3 jam di mesin2 dan 5 jam di mesin 3. Jam kerja maksimum pada mesin 1 adalah 8 jam, mesin 2 adalah 15 jam, sedangkan mesin 3 adalah 30 jam. Dari bilangan di atas maka di dapatlah fungsi tujuan yaitu Z = 3X₁ + 5X_2, bilangan 3 mewakili harg I1 yaitu 30.000 sedangkan bilangan 5 mewakili 50.000. sedangkan fungsi Batasan (constrain) (1) 2X₁ + 0 X2 £ 8; (2) 0X2 + 3X₂ £ 15; (3) 6X₁ + 5X₂ £ 30, dari ketiga fungsi batasan tersebut didapatlah nilaiFungsi 1) X2 = 8 dan X1 = 4; fungsi 2) X2 = 5dan X1 = 15; fungsi 3) X2 = 6 dan X1 = 5. Setelah itu masukan nilai pada masing-masing fungsi tersebut kedalam grafik hingga mendapatkan nilai pada daerah overlapping membentuk segitiga sembarang OABCD yang mendapatkan hasil kemudian di masukan kedalam fungsi tujuan Z = 3X₁ + 5X_2. Dari nilai pada grafik tersebut di peroleh nilai 25,5 pada sudut C yang merupakan nilai optimum atau maksimum.

Dari kedua merek sepatu tersebut dapat di produksi sesuai permintaan dengan kapasitas mesin yang berbeda-beda.

IV. KESIMPULAN

Kesimpulan yang dapat diambil dari linier programming ini adalah:

1. Penyelesaian soal dengan menggunkan linier programming dapat membantu menyelesaikan berapa sepatu yang dapat di produksi, harga jual dan keuntungan maksimun.

2. Pembuatan sepatu dapat selesai tepat waktu sesuai target yang telah di tetapkan dan laba maksimum yang di peroleh dari perhitungan di atas adalah Rp. 255.000.

3. Linear programming ini dapat di terapkan pada semua studi kasus untuk mendapatkan nilai optimum.